Question

【题目】已知函数，有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）已知，，利用上述性质，求的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为；；（2）3.

【解析】

（1）先将函数变形为，根据题目已知条件可得函数的单调区间和值域；

（2）由求得函数的值域，由已知得的值域是的值域的子集，建立关于的不等式，解之可得实数的值.

（1），

设，∵，∴，由，可得

当时，即时，单调递减，

∴函数的单调递减区间为，

当时，即时，单调递增，

∴函数的单调递增区间为，

由，，，得的值域为.

（2）为减函数，

故当时，，

由题知的值域是的值域的子集，

∴，解得.