【题目】已知函数,
.
(1)当时,
①若曲线与直线
相切,求c的值;
②若曲线与直线
有公共点,求c的取值范围.
(2)当时,不等式
对于任意正实数x恒成立,当c取得最大值时,求a,b的值.
【答案】(1),
(2)
,
.
【解析】
(1)当时,
,所以
,①设切点为
,列出方程组,即可求得
,得到答案; ②由题意,得方程
有正实数根,即方程
有正实数根,记
,利用导数求得函数的单调性与最小值,即可求解
的取值范围;
(2)由题意得,当时,
对于任意正实数
恒成立,即当
时,
对于任意正实数
恒成立, 由(1)可得
,进而得到
,
,得到
时,
,进而得到
对于任意正实数
恒成立,再利用二次函数的性质,即可得到结论.
(1)解:当时,
,所以
.
①设切点为,则
由②③得,
由①得代入④得,
所以.
②由题意,得方程有正实数根,
即方程有正实数根,
记,令
,
当时,
;当
时,
;
所以在
上为减函数,在
上为增函数;
所以.
若,则
,不合;
若,由①知适合;
若,则
,又
,
所以,由零点存在性定理知
在
上必有零点.
综上,c的取值范围为.
(2)由题意得,当时,
对于任意正实数x恒成立,
所以当时,
对于任意正实数x恒成立,
由(1)知,,
两边同时乘以x得,①,
两边同时加上得,
②,
所以(*),当且仅当
时取等号.
对(*)式重复以上步骤①②可得,,
进而可得,,
,……,
所以当,
时,
,当且仅当
时取等号.
所以.
当取最大值1时,
对于任意正实数x恒成立,
令上式中得,
,所以
,
所以对于任意正实数x恒成立,
即对于任意正实数x恒成立,
所以,所以函数
的对称轴
,
所以,即
,所以
,
.
又由,两边同乘以x2得,
,
所以当,
时,
也恒成立,
综上,得,
.
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【题目】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的同侧,则不同的排法共有( )
A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种
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【题目】已知函数,有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
(1)已知,
,利用上述性质,求
的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数
,若对任意的
,总存在
使得
成立,求实数
的值.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,椭圆C:
离心率为
,其短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上两动点,直线PO交AQ于E,直线QO交AP于D,直线OP与直线OQ的斜率分别为,
,且
,
,
(
为非零实数),求
的值.
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【题目】下列命题正确的是
(1)命题“,
”的否定是“
,
”;
(2)l为直线,,
为两个不同的平面,若
,
,则
;
(3)给定命题p,q,若“为真命题”,则
是假命题;
(4)“”是“
”的充分不必要条件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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【题目】某商店经营的某种消费品的进价为每件14元,月销售量(百件)与每件的销售价格
(元)的关系如图所示,每月各种开支2 000元.
(1)写出月销售量(百件)关于每件的销售价格
(元)的函数关系式.
(2)写出月利润(元)与每件的销售价格
(元)的函数关系式.
(3)当该消费品每件的销售价格为多少元时,月利润最大?并求出最大月利润.
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【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
.过
的平面交
于点
,交
于点
.
(l)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为
,三棱柱
的体积为
.若
,求
的值.
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