已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
分析:(1)当a=2时,先将二次函数进行配方,然后求出对称轴,结合函数的图象可求出函数的值域.
(2)根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数,函数f(x)=x
2+(2a-1)x-3的对称轴是:x=
-a.进行分类讨论:当=
-a>1时,当=
-a>1时,分别函数f(x)在[-1,3]上的最大值,再根据最值在定点处取得建立等式关系,解之即可.
解答:解:(1)当a=2时,f(x)=x
2+3x-3
=(x+
)
2-
,对称轴为x=-
<3,
∴函数在[-2,-
]上单调递减函数,在[-
,3]上单调递增函数,
∴f(
)≤y≤f(3)
f(3)=15,f(
)=-
∴该函数的值域为:[
-,15].
(2)函数f(x)=x
2+(2a-1)x-3的对称轴是:x=
-a.
当
-a>1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1
∴a=-1;
当
-a≤1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(3)=6a+3=1
∴a=-
;
∴实数a的值a=-
.或a=-1.
点评:本题主要考查了函数的值域,以及二次函数的图象等有关基础知识,考查计算能力,数形结合的思想,属于基础题.