Question

已知f（x）=sinπx．
（1）设g(x)=

f(x)，(x≥0) g(x+1)+1，(x＜0)

，求g(

1

4

)和g(-

1

3

)；
（2）设h(x)=f2(x)+

3

f(x)cosπx+1，求h（x）的最大值及此时x值的集合．

Answer 1

分析：（1）由g（

1

4

）=f（

1

4

），g（-

1

3

）=g（

2

3

）+1 求得式子的值．
（2）利用两角和差的三角公式化简h（x） 的解析式为 sin（2πx-

π

6

 ）+

3

2

，故当2πx-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z时，h（x）取的最大值，从而求得x的集合．

解答：解：（1）g（

1

4

）=f（

1

4

）=sin

1

4

π=

2

2

，g（-

1

3

）=g（

2

3

）+1=sin

2

3

π+1=

3

2

+1．
（2）h（x）=sin²πx+

3

cosπxsinπx+1=

1-cos2πx

2

+

3

2

sin2πx+1=sin（2πx-

π

6

 ）+

3

2

．
当sin（2πx-

π

6

 ）=1 时，h（x）的最大值为

5

2

，此时，2πx-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，
即x的集合为 {x|x=k+

1

3

，k∈z}．

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和差的三角公式的应用，三角函数的最值，明确函数g（x）的意义，是解题的关键．