Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为-p．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：$\frac{{|{OD}|}}{{|{OM}|}}＞2$．

Answer 1

分析 （I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为$y=k（x-\frac{p}{2}）\;（k≠0）$．与抛物线方程联立可得：${k^2}{x^2}-（{k^2}p+2p）x+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$，由直线OA与OB的斜率之积为-p，即$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-p$．可得：x₁x₂=4． 利用根与系数的关系即可得出．
（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为$y={k_{op}}x=\frac{2k}{{{k^2}+2}}x$，代入抛物线C：y²=8x的方程，解出即可得出．

解答 （I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，$F（\frac{P}{2}，0）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为$y=k（x-\frac{p}{2}）\;（k≠0）$．
∴${y_1}^2=2p{x_1}\;（p＞0）$，${y_2}^2=2p{x_2}$．
∵直线OA与OB的斜率之积为-p，
∴$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-p$．
∴${（\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}）^2}={p^2}$，得 x₁x₂=4．  
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-\frac{p}{2}）\\{y^2}=2px\end{array}\right.$，化为${k^2}{x^2}-（{k^2}p+2p）x+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$，
其中△=（k²p+2p）²-k²p²k²＞0
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴p=4，抛物线C：y²=8x．  
（Ⅱ）证明：设M（x₀，y₀），P（x₃，y₃），∵M为线段AB的中点，
∴${x_0}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=\frac{{{k^2}P+2P}}{{2{k^2}}}=\frac{{2（{k^2}+2）}}{k^2}$，${y_0}=k（{x_0}-2）=\frac{4}{k}$．
∴直线OD的斜率为${k_{op}}=\frac{y_0}{x_0}=\frac{2k}{{{k^2}+2}}$．
直线OD的方程为$y={k_{op}}x=\frac{2k}{{{k^2}+2}}x$代入抛物线C：y²=8x的方程，
得${x_3}=\frac{{2{{（{k^2}+2）}^2}}}{k^2}$．
∴$\frac{x_3}{x_0}=（{k^2}+2）$．
∵k²＞0，
∴$\frac{{|{OD}|}}{{|{OM}|}}=\frac{x_3}{x_0}=（{k^2}+2）＞2$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．