Question

（2011•临沂二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为

2

，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，且l总与以原点为圆心的单位圆相切．
（I）求该椭圆的方程；
（II）当

OA

•

OB

=λ且满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求S_△AOB的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由抛物线y²=4x可知焦点为（1，0），准线为x=-1，椭圆截直线x=-1所得的弦长为

2

得上交点为（-1，

2

2

），代入结合1=a²-b²可求
II）由直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切可得

|m|

1+k2

=1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8k²＞0可得k≠0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，而

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ，结合

2

3

≤λ≤

3

4

可求k的范围，根据|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2

表示所求的面积，结合基本不等式可求

解答：解：（I）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），准线为x=-1
∵椭圆截直线x=-1所得的弦长为

2

得上交点为（-1，

2

2

），代入得

1

a2

+

1 2

b2

=1，且1=a²-b²
∴b²=1，a²=2
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（II）∵直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切
∴

|m|

1+k2

=1即m²=k²+1
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
△=8k²＞0可得k≠0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=λ，

1+k2

1+2k2

=λ
由

2

3

≤λ≤

3

4

可得

2

3

≤

1+k2

2k2+1

≤

3

4

，即

1

2

≤k2≤1
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2

=2

2(k4+k2) 4k4+4k2+1

令u=k⁴+k²∵

1

2

≤k2≤1∴

3

4

≤u≤2，AB=2

2u 4u+1

=2

2 4+ 1 u

∈[

6

2

，

4

3

]
∴S=

1

2

AB×1=

1

2

AB∈[

6

4

，

2

3

]

点评：本题主要考查了利用椭圆与抛物线的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用及利用基本不等式求解函数的最值，综合性较强，运算量较大，属于综合试题