Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y²＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ∪   (2)不存在，理由见解析

【解析】解：(1)由已知条件知直线l的方程为

y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋(kx＋)²＝1.

整理得x²＋2kx＋1＝0.①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k²－4＝4k²－2>0，

解得k<－或k>，

即k的取值范围为∪.

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，

由方程①得x₁＋x₂＝－.②

又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝，③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，

所以＋与共线等价于x₁＋x₂＝－ (y₁＋y₂)．

将②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.