Question

已知函数

（1）若在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x=-是的极值点，求在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数=bx的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（1）;（2）;（3）

【解析】

试题分析：（1）在区间［1，+∞）上是增函数在区间［1，+∞）上恒成立；

（2）由得，判定函数的单调性，可知函数的最大值为；

（3）两个函数有三个不同的公共点方程恰有三个不同的实根有两个不同非零实根。

试题解析：（1）,∵f（x）在［1，+∞）上是增函数,

∴在［1，+∞）上恒有，即3x-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有且在区间［1，+∞）上是增函数，又,∴.

（2）依题意，，即,∴,.

令，得.

则当变化时，的变化情况如下表：

	1	（1,3）	3	（3,4）	4
		-	0	+
	-6	↘	-18	↗	-12

∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6.

（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x-4x-3x=bx恰有3个不等实根

∴x-4x-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x-4x-3-b=0有两个非零不等实根，

∴

∴存在符合条件的实数b，

考点：函数与导数，函数单调生、最值、函数与方程。