Question

（本题满分14分） 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）当t=-1或t=-2时,即m=5或m=6时, 是数列中的项

解：（Ⅰ）设的公比为q，则有
则，.
即数列和的通项公式为，.      ……6′
（Ⅱ），令,所以
,
如果是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以.                     ……4′
当t=1或t=2时, ,不合题意;
当t=1或t=2时, ,符合题意.
所以,当t=-1或t=-2时,即m=5或m=6时, 是数列中的项. ……8
思路分析：第一问利用已知的项的关系式联立方程组可知公比，和首项，求解得到通项公式。
第二问中，，令,所以
,
如果是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以t=-2,-1,1,2
所以,当t=-1或t=-2时,即m=5或m=6时, 是数列中的项.