Question

18．空间四点A、B、C、D满足|$\overline{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=7，|$\overrightarrow{CD}$|=11，|$\overrightarrow{DA}$|=9，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值为（　　）

• A． 只有一个
• B． 有二个
• C． 有四个
• D． 有无穷多个

Answer 1

分析 先把ABCD看成是平面图形，过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，运用勾股定理，可得E，F重合，再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形，运用线面垂直的判定和性质，得AC⊥BD，再由向量数量积的性质，即可得到答案．

解答 解：由|$\overline{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=7，|$\overrightarrow{CD}$|=11，|$\overrightarrow{DA}$|=9，
知AB²+CD²=BC²+DA²=130，
BC²-AB²=CD²-DA²；
先把ABCD看成是平面图形，
过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，
则AB²=AE²+BE²，BC²=CE²+BE²，
则BC²-AB²=CE²-AE²．
同理CD²-DA²=CF²-AF²，即CF²-AF²=CE²-AE²，
又因为A，E，F，C在一条直线上，
所以满足条件的只能是E，F重合，即有AC垂直BD，
再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形；
由AC⊥BE，AC⊥DE，即有AC⊥平面BDE，则AC⊥BD，
即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，所以$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值只有一个．
故选：A．

点评 本题考查了空间中直线和平面的位置关系，以及向量的数量积的应用问题，也考查了空间想象能力，是中档题目．