Question

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，e]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2时，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，定义域为（0，+∞），f′（x）=

2x2-3x-2

x2

，令f′（x）=0，求出单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）由于f′（x）=a-

a

x2

-

3

x

，所以由题意知，f′（x）≥0在[2，e]上恒成立，得a≥

3x

x2-1

．令g（x）=

3x

x2-1

，而g（x）=

-3-3x2

(x2-1)2

，当x∈[2，e]时g′（x）＜0，得g（x）在[2，e]上递减，故g（x）在[2，e]上的最大值为g（2）=2，因此要使a≥

3x

x2-1

恒成立，应有a≥2．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

2x2-3x-2

x2

，令f′（x）=0，得x=2（x=-

1

2

舍去），
当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

所以函数f（x）在x=2时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值f（2）=5-3ln2．
（2）由于f′（x）=a-

a

x2

-

3

x

，所以由题意知，f′（x）≥0在[2，e]上恒成立．
∴ax²-3x-a≥0在[2，e]上恒成立，即a≥

3x

x2-1

．
令g（x）=

3x

x2-1

，而g（x）=

-3-3x2

(x2-1)2

，当x∈[2，e]时g′（x）＜0，
∴g（x）在[2，e]上递减，故g（x）在[2，e]上的最大值为g（2）=2，
因此要使a≥

3x

x2-1

恒成立，应有a≥2．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．