Question

已知A、B、C是△ABC的三内角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求cosC．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：利用数量积运算和正弦函数的单调性可得A，利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：由

m

•

n

=1，可得

3

sinA-cosA=1，即2sin(A-

π

6

)=1，
而A∈（0，π），∴(A-

π

6

)∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

，
∵-3=

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

，
∴tanB=2＞0，
∴B为锐角，∴cosB=

5

5

，sinB=

2 5

5

．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

1

2

×

5

5

+

3

2

×

2 5

5

=

2 15 - 5

10

．

点评：本题考查了数量积运算、正弦函数的单调性、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式、三角形的内角和定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．