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    已知矩阵M=
    4-3
    2-1
    ，向量
    α
    =
    7
    5

    （Ⅰ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
    （Ⅱ）求M3
    α
    ．
    考点：特征值与特征向量的计算
    专题：选作题,矩阵和变换
    分析：（Ⅰ）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
    （Ⅱ）
    α
    =
    7
    5
    =
    1
    1
    +2•
    3
    2
    ，即可求M3
    α
    ．
    解答： 解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
    令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，
    设λ1=1对应的一个特征向量为α=
    x
    y
    ，
    则由λ1α=Mα，得-3x+3y=0，可令x=1，则y=-1，
    所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
    1
    1
    ，
    同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为
    3
    2
    ．
    （Ⅱ）
    α
    =
    7
    5
    =
    1
    1
    +2•
    3
    2

    所以M3
    α
    =
    1
    1
    +2×23×
    3
    2
    =
    49
    33
    ．
    点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
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    已知A、B、C是△ABC的三内角，向量
    m
    =（-1，
    		3
    ），
    n
    =（cosA，sinA），且
    m
    •
    n
    =1，
    1+sin2B
    cos2B-sin2B
    =-3，求cosC．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}中，已知a1=2，当n≥2时，an=
    1
    3
    an-1+
    2
    3n-1
    ．数列{bn}满足bn=3n-1an（n∈N*）
    （Ⅰ）证明：{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）记数列{
    an
    n
    }的前n项和为Sn，是否存在正整数m，n使得
    Sn-m
    Sn+1-m
    ＜
    3m
    3m+1
    成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知（
    		x
    +
    2
    x2
    ）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是10：1，求展开式中：
    （1）含x-1的项；
    （2）系数最大的项．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求下列函数的导数
    （1）y=
    1
    		x
    •cosx；
    （2）y=x•lnx．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N*，令bn=an+1-2an，且 a1=1．
    （1）求{bn}的通项公式；
    （2）若存在数列{Cn}满足等式：bn=
    C1
    1
    +
    C2
    2
    +
    C3
    3
    +…+
    Cn
    n
    （n∈N*），求{Cn}的前n项和Tn．

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    （Ⅱ）当k=
    		2
    时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值：
    （Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

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    对于函数f（x），x∈D，若存在x1、x2∈D，对任意的x∈D，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则称f（x）为“幅度函数”，其中f（x2）-f（x1）称为f（x）在D上的“幅度”．
    （1）判断函数f（x）=
    		3-2x-x2
    是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；
    （2）已知x（y-1）-2n-1y+2n=0（x∈Z，n为正整数），记y关于x的函数的“幅度”为bn，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）在（2）的条件下，令g（n）=lg
    2
    bn+1
    +lg
    2
    bn+2
    +…+lg
    2
    b2n
    ，求g（n）的表达式．

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    ．

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