Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，点A₁在平面ABC上的射影为AC的中点D，AC=2，BB₁=3，则AB₁与底面ABC所成角的正切值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,余弦函数的定义域和值域

专题：计算题

分析：先来找AB₁与底面ABC所成角，按照线面角的定义，需过B₁作底面ABC的垂线，若垂足是E，连接AE，则∠B₁AE就是所要找的角，角找到了，下面要求它的正切值了，所以需要求B₁E，AE．∵B₁E=A₁D，∴在Rt△A₁DA中求A₁D即可．而AE的求解，把它放在△ADE中，根据题中条件，利用余弦定理即可求出，这时候，AB₁与底面ABC所成角的正切值就能求了．

解答： 解：如图，过D作DE∥AB，且DE=AB则B₁E∥A₁D；
∴B₁E⊥平面ABC，则∠B₁AE是AB₁与底面ABC所成角；
根据条件知，在Rt△A₁AD中，AD=1，AA₁=3，∴A₁D=2

2

∴B1E=2

2

；

在Rt△ABC中，AC=2，∴AB=

2

，∴DE=

2

；
∴在△ADE中，AD=1，DE=

2

，∠ADE=

3π

4

；
∴根据余弦定理得：AE2=1+2-2

2

(-

2

2

)=5，∴AE=

5

；
∴tan∠B1AE=

2 2

5

=

2 10

5

．
故答案是：

2 10

5

．

点评：要求线面角，要先找到这个角，然后根据边的关系或角的关系求解即可．本题注意在求AE时用到了余弦定理，对余弦定理要熟练掌握．本题考查的知识点为：射影的概念，线面角的定义，余弦定理．