Question

数列{a_n}中，已知a₁=2，当n≥2时，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

．数列{b_n}满足b_n=3^n-1a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

an

n

}的前n项和为S_n，是否存在正整数m，n使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据递推数列，结合等差数列的定义即可证明{b_n}为等差数列，即可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{

an

n

}的通项公式，以及前n项和为S_n，将不等式恒成立问题进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，b₁=3⁰a₁=2，
当n≥2时，在a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

的两边同乘以3^n-1得，3^n-1a_n=

1

3

×3^n-1a_n-1+

2

3n-1

×3^n-1，
得3^n-1a_n=3^n-2a_n-1+2，
即b_n-b_n-1=2，（n≥2），
即{b_n}为等差数列，首项为2，公差为2，
则{b_n}的通项公式为b_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=3^n-1a_n=2n，故

an

n

=

2

3n-1

，
∴数列{

an

n

}的前n项和为S_n=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3（1-

1

3n

），
则

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

，
∵

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，得

2

(3-m)•3n-1

＞

1

3m+1

，
∴（3-m）•3^m-1＞0，
∵m是正整数，∴m=1，2，
当m=1时，

1

2•3n-1

＞

1

4

，解得n=1，
当m=2时，

2

3n-1

＞

1

10

，解得n=1，2．
综上存在所有符合条件的有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2）．

点评：本题主要考查等差数列的判断和通项公式的求解，以及不等式恒成立的证明，考查学生的综合应用．