Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N^*，令b_n=a_n+1-2a_n，且 a₁=1．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若存在数列{C_n}满足等式：b_n=

C1

1

+

C2

2

+

C3

3

+…+

Cn

n

（n∈N^*），求{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），从而得到a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），进而得到

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

(n≥2)，由a₁+a₂=4a₁+3且a₂=6．得b₁=6-2=4，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）由已知条件推导出cn=

4(n=1) n•2n(n≥2)

，由此利用错位相减法能求出{C_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n+1=4（a_n+2）-5，∴S_n+1=4a_n+3．…（1分）
∴S_n=4a_n-1+3，∴a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），…（2分）
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），…（3分）
∴

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

(n≥2)…（4分）
∴数列{b_n}为等比数列，公比q=2，首项b₁=a₂-2a₁
而a₁+a₂=4a₁+3且a₂=6．
∴b₁=6-2=4，
∴bn=4×2n-1=2n+1…（6分）
（2）当n=1时，b1=

c1

1

，∴C₁=4，…（7分）
当n≥2时，b_n=

C1

1

+

C2

2

+

C3

3

+…+

Cn

n

，…①，
bn-1=

c1

1

+

c2

2

+…

cn-1

n-1

…②
①-②，bn-bn-1=

cn

n

，2n+1-2n=

cn

n

…（8分）
∴cn=n•2n(n≥2)，
∴cn=

4(n=1) n•2n(n≥2)

…（9分）
当n=1时，T_n=C₁=4，
当n≥2时，Tn=4+2•22+…+n•2n…③
2Tn=8+2•23+…+n•2n+1…④
③-④：-Tn=4+(23+24+…+2n)-n•2n+1
即：-Tn=4+

23(1-2n-2)

1-2

-n•2n+1=4+2n+1-8-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+4，
n=1时上式成立，∴Tn=(n-1)•2n+1+4．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式、数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．