Question

四棱锥S-ABCD的底面是菱形，SD⊥平面ABCD，点E是SD的中点．
（Ⅰ）求证：SB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面SBD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由三角形中位线得OE∥SB，由此能证明SB∥平面EAC．
（Ⅱ）由菱形性质得AC⊥BD，由线面垂直得SD⊥AC，由此能证明平面SAC⊥平面SBD．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E是SD中点，∴OE∥SB，
∵OE?平面AEC，SB?平面AEC，
∴SB∥平面EAC．
（Ⅱ）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD，
∵AC?平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．