Question

如图，在三棱锥P-ABC中，除棱PC外，其余棱均等长，M为棱AB的中点，O为线段MC上靠近点M的三等分点．
（1）若PO⊥MC，求证：PO⊥平面ABC；
（2）试在平面PAB上确定一点Q，使得OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC，并给出证明．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出CM⊥AB，PM⊥AB，从而AB⊥平面PMC，进而AB⊥PO．又PO⊥MC，由此能证明PO⊥平面ABC．
（2）Q为线段MP上靠近M点的三等分点时，OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC，利用平行线等分线段成比例性质进行证明．

解答： （1）证明：由题意得：O为△ABC的中心，则CM⊥AB，
∵M为棱AB的中点，PA=PB，∴PM⊥AB，…（2分）
又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PMC，…（4分）
又PO?平面PMC，∴AB⊥PO．
又PO⊥MC，MC∩AB=M，
∴PO⊥平面ABC…（7分）
（2）解：∵O为线段MC上靠近点M的三等分点，
∴Q为线段MP上靠近M点的三等分点时，
OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC…（9分）
证明如下：
∵

MQ

QP

=

MO

OC

，∴OQ∥PC，又OQ?平面PAC，PC?平面PAC，
∴OQ∥平面PAC…（12分）
∵OQ∥PC，又OQ?平面PBC，PC?平面PBC，
∴OQ∥平面PBC．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．