Question

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数

1

x

f（x）也是增函数，则称函数f（x）为区间D上的“和谐”函数．已知函数f（x）=1-

1

x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上是否为“和谐”函数；
（Ⅱ）若P是函数f（x）图象上的任一点，求点P到直线x-2y=0的最短距离；
（Ⅲ）当x∈[

1

4

，

9

4

]时，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

1

2x 3 2

＞0在区间[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上为增函数，从而

1

x

f（x）=

1

x

-

1

x 3 2

，又[

1

x

f（x）]′=

-2 x +3

2x 5 2

≥0在区间[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故

1

x

f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上也为增函数，得f（x在区间[

1

4

，

9

4

]上为“和谐”函数；
（Ⅱ）由f′（x）=

1

2x 3 2

，令f′x）=

1

2

得x=1，又f（1）=0，得函数f（x）图象在P（1，0）的切线与直线x-2y=0平行，此P到直线x-2y=0的距离最短，最短距离等于d=

5

5

；
（Ⅲ）当x∈[

1

4

，

9

4

]时，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立等价于：

a≥ 1 x f(x) -2a≤ 1 x f(x)

恒成立，故-4≤

1

x

f（x）≤-

2

9

，故a≥2．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2x 3 2

＞0在区间[

1

4

，

9

4

]上恒成立，
故f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上为增函数，
∵

1

x

f（x）=

1

x

-

1

x 3 2

，
又[

1

x

f（x）]′=

-2 x +3

2x 5 2

≥0在区间[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故

1

x

f（x）在区间[

1

4

，

9

4

]上也为增函数，
∴f（x在区间[

1

4

，

9

4

]上为“和谐”函数；
（Ⅱ）∵f′（x）=

1

2x 3 2

，令f′x）=

1

2

得x=1，又f（1）=0，
所以函数f（x）图象在P（1，0）的切线与直线x-2y=0平行，
此P到直线x-2y=0的距离最短，最短距离等于d=

5

5

；
（Ⅲ）当x∈[

1

4

，

9

4

]时，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立
等价于：

a≥ 1 x f(x) -2a≤ 1 x f(x)

恒成立，
由（1）知 

1

x

f（x）为增函数，
故-4≤

1

x

f（x）≤-

2

9

．
所以

a≥- 4 9 -2a≤-4

，故a≥2．

点评：本小题主要考查函数与导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想