Question

某公司今年年初用36万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元．
（1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，设纯收益与使用年数n的关系为f（n），f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36，由此能够求出引进这种设备后，第2年末的收益与支出恰好相等，故从第3年起该公司开始获利．
（2）年平均收益为

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．由此能够求出这种设备使用6年，该公司的年平均收益最大．

解答： 解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
设纯收益与使用年数n的关系为f（n），
则f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-20n+36＜0，
解得：2＜n＜18，
∵n∈N，
∴第2年末的收益与支出恰好相等，故从第3年起该公司开始获利．…（6分）
（2）年平均收益为：

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．…（10分）
当且仅当n=

36

n

，即n=6时，

f(n)

n

取得最大值．
即这种设备使用6年，该公司的年平均收益最大．…（12分）

点评：本题考查数列在生产实际中的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．