Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n-1

(an-1)(2an-1)

，记数列{b_n}的前n项和为S_n，其中n∈N^*，求证：

1

3

≤S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：通过观察条件a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1应想到两边同除以a_n²，这样会得到(

an+1

an

)2-

an+1

an

-2=0，看到这个式子之后，你又发现可以将等式的左边变成因式乘积的形式，即(

an+1

an

+1)(

an+1

an

-2)=0，所以得到

an+1

an

=2，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，再根据a₂+a₄=2a₃+4求出a₁即可．对于第二问，先将b_n求出，bn=

2n-1

(2n-1)(2n+1-1)

，看到该式应想着能否把它变成两项差的形式，变成两项差为的是求和时，使和中的项互相抵消，它类似于将

1

n•(n+1)

变成

1

n

-

1

n+1

．所以将

bn

变成了bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，所以进行求和便发现，和中的一些项互相抵消，这样便能求出S_n，再根据n的取值：n≥1，便可求出S_n的范围，从而完成证明．

解答： 解：（1）∵a_n＞0，∴由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1得：(

an+1

an

)2-

an+1

an

-2=0，∴(

an+1

an

+1)(

an+1

an

-2)=0，∴

an+1

an

=2；
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列；
∴由a₂+a₄=2a₃+4得：2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，∴an=2n．
（2）bn=

2n-1

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
∴Sn=

1

2

[(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1-1

)
∵n+1≥2，∴

1

2n+1-1

≤

1

3

，∴

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，且

1

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

1

2

；
∴

1

3

≤Sn＜

1

2

．

点评：第一问可以由条件a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1得到an+12-anan+1-2an2=0，进一步得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，∴a_n+1=2a_n，到这应该看出{a_n}是等比数列了，这一步是解决本题的关键．对于第二问的关键就是求出bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．做本题还需对等比数列的通项公式及求和公式比较熟练．