Question

已知圆C的圆心坐标为（2，2），且和直线3x+4y-9=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在实数a，使圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且满足∠AOB=90°．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相切的关系求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（2）将直线和圆联立，根据条件∠AOB=90°．进行消元转化为根与系数的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）由于圆C与直线相切，故圆C的半径是r=

|3×2+4×2-9|

32+42

=

5

5

=1，
则圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=1．
（2）由x-y+a=0得y=x+a，代入圆的方程，得：
（x-2）²+（x+a-2）²=1，
整理得：2x²+（2a-8）x+a²-4a+7=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2-4a+7

2

，
若∠AOB=90°成立，需

OA

⊥

OB

．
即

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=a²+7≠0，
∴x₁x₂+y₁y₂≠0，
所以不存在a的值，满足条件∠AOB=90°．

点评：本题主要考查圆的方程，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．