Question

某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：

支教次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

根据上表信息解答以下问题：
（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P₁；
（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由已知条件得

f(4)＜0 f(5)＞0

，解得η=4，由此能求出事件A发生的概率P₁．
（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，ξ的可能取值分别是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点，
则必有

f(4)＜0 f(5)＞0

，即：

16-4η-1＜0 25-5η-1＞0

，解得：

15

4

＜η＜

24

5

，
∵∈N^*，∴η=4．（3分）
当η=4时，P₁=

C 2 20 +C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

．（6分）
（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，（7分）
P（ξ=0）=

C 2 5 + C 2 10 + C 2 20 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 10 +C 1 10 C 1 20 +C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P（ξ=2）=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P（ξ=3）=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，（10分）
从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的数学期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

． …（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．