Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c²=bccosA+cacosB+abcosC．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若

AB

•

BC

=-3，

AB

•

AC

=9，求角B的大小．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，2bccosA=b²+c²-a²，2cacosB=a²+c²-b²，2abcosC=a²+b²-c²，结合已知，易得a²+b²=c²，从而可判断△ABC的形状；
（Ⅱ）利用向量的数量积，可得accosB=3，bccosA=9，两式相除，再利用正弦定理即可求得tanA=

3

3

，从而可求得A，继而可得B的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，c²=bccosA+cacosB+abcosC，
∴由余弦定理可得：2bccosA=b²+c²-a²，2cacosB=a²+c²-b²，2abcosC=a²+b²-c²，
∴2c²=（b²+c²-a²）+（a²+c²-b²）+（a²+b²-c²），
即a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）∵

AB

•

BC

=-3，

AB

•

AC

=9，
即accos（π-B）=-accosB=-3，bccosA=9，
两式相除得：

acosB

bcosA

=

3

9

=

1

3

，又△ABC为直角三角形，C为直角；
∴cosB=cos（

π

2

-A）=sinA，由正弦定理可得：

acosB

bcosA

=

sinA•sinA

cosA•cosA

=

1

3

，A为锐角，
∴tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，B=

π

3

．

点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与正弦定理的综合应用，判断得到△ABC为直角三角形是关键，属于中档题．