Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，不等式x²-2

3

x+2≤0的解集为{x|a≤x≤b}，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；        
（2）AB的长度．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边利用诱导公式化简求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由不等式的解集，利用韦达定理求出a+b，ab的值，利用余弦定理列出关系式，将cosC，a+b，ab的值代入计算即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵2cos（A+B）=-2cosC=1，
∴cosC=-

1

2

，
则C=120°；
（2）∵在△ABC中，BC=a，AC=b，不等式x²-2

3

x+2≤0的解集为{x|a≤x≤b}，
∴a+b=2

3

，ab=2，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=12-2=10，
则AB=c=

10

．

点评：此题考查了余弦定理，韦达定理，以及诱导公式的作用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．