Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≥λ对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质能求出数列{a_n}的通项公式．（2）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项求和法能求出实数λ的最大值．

解答： 解：（1）设公差为d，
∵各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1或d=0（舍），
所以a₁=2，故a_n=n+1．…（5分）
（2）因为

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（6分）
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，…（8分）
而T_n随着n的增大而增大，
所以T_n≥T₁=

1

2

-

1

3

=

1

6

，…（10分）
因为T_n≥λ对?n∈N^*恒成立，即λ≤

1

6

，
所以实数λ的最大值为

1

6

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．