Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，n∈N^*，数列{b_n}满足：b_n=2ⁿ•a_n，且{b_n}的前n项和记为T_n．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）证明：对任意n∈N^*，T_n≥2恒成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式，根据b_n=2ⁿ•a_n，可得{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n，即可证明结论．

解答： （1）解：当n=1时，a₁=S₁=1；…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1．…（3分）
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（4分）
∴bn=(2n-1)•2n，n∈N^*…（6分）
（2）证明：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
即Tn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n------------①
①×2：2Tn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1-----------------②
①-②：-Tn=21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)2n+1=2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
=2 +2

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1=（6-4n）2ⁿ-6…（10分）
∴Tn=(4n-6)2n+6，
∵T_n随着n的增大而增大，∴T_n≥T₁=2，
∴T_n≥2，对任意n∈N^*恒成立．…（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．