Question

已知矩阵M=（

1 0 0 -1

），N=（

1 2 3 4

）．
（Ⅰ）求使得MX=N成立的二阶矩阵X；
（Ⅱ）求矩阵X的特征值以及每个特征值所对应的一个特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）求出M^-1=

1 0 0 -1

，利用X=M^-1N，可求二阶矩阵X；
（Ⅱ）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）M=（

1 0 0 -1

），|M|=-1，
∴M^-1=

1 0 0 -1

，
∴X=M^-1N=

1 2 -3 -4

；
（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ+1）（λ+2），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ₁=-1，λ₂=-2，
设λ₁=-1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，则y=-1，
∴矩阵M的一个特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

1 -1

，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=-2对应的一个特征向量为

2 -3

．

点评：本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．