Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，过右焦点F₁作与坐标轴垂直的弦且弦长为

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y=-x+m与椭圆C交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求△F₁AB的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率e=

2

2

，过右焦点F₁作与坐标轴垂直的弦且弦长为

2

，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）由直线l：y=-x+m与椭圆可得3x²-4mx+2m²-2=0，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆与y轴相切，求出m，即可求△F₁AB的面积．

解答： 解：（1）由题意得

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1．
所以椭圆的方程是

x2

2

+y2=1．              …（4分）
（2）由直线l：y=-x+m与椭圆可得3x²-4mx+2m²-2=0，
则△＞0，即m²＜3；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

．…（6分）
则AB的中点的横坐标为

2m

3

，
则以AB为直径的圆的半径为r=

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，
由条件可得

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=|

2m

3

|…（8分）
整理可得(

4m

3

)2=8•

2m2-2

3

，
所以m=±

6

2

…（10分）
而|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=

2 3

3

故△F₁AB的面积为

1

2

|y₁-y₂|（-1+

6

2

）=

±2 3 +3 2

6

…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．