Question

函数f（x）=

1-x2，x≤1 f(x-2)，x＞1

，若方程f（x）=mx恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A、（8-2

  15

  ，4-2

  3

  ）
• B、（4+2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• C、（4-2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• D、（8-2

  15

  ，4+2

  3

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：通过x＞1是周期函数，画出函数y=f（x）的图象和函数y=mx的图象，通过图象观察，考虑直线绕着原点旋转，分析直线与1＜x＜3的图象相切和3＜x＜5的图象相切情况，求出此时的m的值，从而判断满足条件的实数m的取值范围．

解答： 解：当1＜x≤3时，-1＜x-2≤1，f（x-2）=1-（x-2）²，即f（x）=1-（x-2）²，
当3＜x≤5时，-1＜x-4≤1，f（x-4）=1-（x-4）²，即f（x）=1-（x-4）²，
…
画出函数y=f（x）的图象和函数y=mx的图象，

由

y=mx y=1-(x-2)2

消去y得，x²-（4-m）x+3=0，由判别式等于0，（4-m）²-12=0，m=4±2

3

，
检验m=4+2

3

时，x=-

3

不成立，故m=4-2

3

；
由

y=mx y=1-(x-4)2

消去y得，x²-（8-m）x+15=0，由判别式为0，（8-m）²-60=0，m=8±2

15

，
检验m=8+2

15

时，x=-

15

不成立，故m=8-2

15

．
故方程f（x）=mx恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围为（8-2

15

，4-2

3

）．
故选A．

点评：本题考查函数的周期性及运用，考查方程的根的个数转化为函数的图象交点个数，注意通过图象观察，主要是直线旋转与曲线的交点问题，属于中档题．