Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2，离心率是0.5；
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：过点A（1，2）倾斜角为45°的直线l与椭圆C有两个不同的交点；又记这两个交点为P、Q，试求出线段PQ的中点M的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接根据焦距是2，离心率是0.5；求出c=1，a=2，再根据a，b，c之间的关系求出b；即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程和椭圆方程联立，转化为关于x的一元二次方程，只要对应的判别式大于0即可说明结论．

解答： （1）解：由题意2c=2，∴c=1，…（2分）
由离心率是0.5，得a=2，∴b=

3

．…（4分）
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．    …（6分）
（2）证明：直线l：y-2=tan45°（x-1），即y=x+1．…（8分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得：7x²+8x-8=0．…（10分）
∵△=8²-4×7×（-8）=288＞0…（11分）
∴过点A（1，2）倾斜角为45°的直线l与椭圆有两个不同的交点．   
线段PQ的中点M的横坐标为-

4

7

，纵坐标为

3

7

，即M（-

4

7

，

3

7

）．…（14分）

点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，属于中档题目，解题时要注意性质的灵活运用．