Question

二阶矩阵A，B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示．
（Ⅰ）请写出一个满足条件的矩阵A，B；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，计算C=BA，并求出曲线x-y-1=0在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）由题意，二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变，纵坐标的变换，二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故可求；
（2）先求得到C，设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y），从而有

0 - 1 2 1 0

m n

=

x y

，故m=y，n=-2x，从而可求曲线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变，纵坐标变为原来一半的变换，故A=

1 0 0 1 2

二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故B=

0 -1 1 0

   …（4分）
（Ⅱ）C=BA=

0 -1 1 0

1 0 0 1 2

=

0 - 1 2 1 0

设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y）
∵

0 - 1 2 1 0

m n

=

x y

∴m=y，n=-2x
∵m-n-1=0
∴2x+y-1=0
故所求曲线方程为：2x+y-1=0．         …（7分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，几种特殊的矩阵变换，属于中档题目．