Question

已知数列{a_n}满足a_n+a_n+1=6n+1（n∈N^*）
（1）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=3，Sn是数列{a_n}的前n项的和，设b_n=

2

2Sn+5n

，是否存在正整数k，使得

1

8

＜b₂+b₄+…+b_2k＜

1

7

？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+2-a_n=6，由此能求出a_n=3n-1．
（2）由已知条件得数列{a_n}的奇数项是首项为3，公差为6的等差数列，偶数项是首项为4，公差为6的等差数列，从而得到b2+b4+…+b2k=

1

6

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k

-

1

k+1

)=

k

6(k+1)

，由此能示出存在正整数k，k=4，5．

解答： （本题满分13分）
解：（1）∵a_n+a_n+1=6n+1，
∴a_n+1+a_n+2=6n+7，∴a_n+2-a_n=6，
又数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，则2d=6，∴d=3，…（3分）
又a₁+a₂=7，∴2a₁+d=7，∴a₁=2，∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
故数列{a_n}的通项公式为an=3n-1(n∈N*)．…（6分）
（2）由 a₁+a₂=7，又a₁=3，得a₂=4，
由（1）知数列{a_n}的奇数项是首项为3，公差为6的等差数列，
偶数项是首项为4，公差为6的等差数列．…（8分）
S2k=3k+

k(k-1)

2

×6+4k+

k(k-1)

2

×6=6k2+k，
∴b2k=

2

2S2k+10k

=

2

12k2+12k

=

1

6k(k+1)

=

1

6

(

1

k

-

1

k+1

)…（10分）
∴b2+b4+…+b2k=

1

6

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k

-

1

k+1

)=

k

6(k+1)

，
解不等式

1

8

＜

k

6(k+1)

＜

1

7

，得3＜k＜6
又k为正整数，故存在正整数k，k=4，5．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的求法，是中档题，解题时要注意挖掘隐含条件，注意裂项求和法的合理运用．