Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠BCD=

π

4

，AD=1，BC=2，E为棱PC中点．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）求证：面PAB⊥面PBC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BC中点F，连结DF，EF，由已知条件推导出EF∥PB，DF∥AB，从而得到面DEF∥面PAB，由此能证明EF∥面PAB．
（2）由四边形ABCD为直角梯形，得AB⊥BC，由面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，得BC⊥平面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．

解答： 证明：（1）取BC中点F，连结DF，EF，
∵E是PC中点，F是BC中点，∴EF∥PB，
∵四边形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD=1，BC=2，F为BC中点，
∴DF∥AB，又EF∩DE=E，
∴面DEF∥面PAB，
又EF?面DEF，∴EF∥面PAB．
（2）∵四边形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD=1，BC=2，
∴AB⊥BC，
又面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．