Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求异面直线PC与AD所成的角；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC；
（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：要求异面直线所成的角，要先找到这个角，通过条件能找到直线PC与AD所成的角是∠PCB，根据条件求出即可．证明平面和平面垂直，根据面面垂直的判定定理，需从一个平面内找到一条直线，让它和另一平面垂直．根据条件PA⊥平面ABCD，所以得到PA⊥DC，即DC⊥PA，那么这时候想着，看CD能不能垂直于AC，然后根据条件是可以的．第三问是求线面角，要先找到这个角，通过观察图形会发现取PC边的中点，∠ECE′便是所找的角．

解答： （Ⅰ）解：如图，∵AD∥BC∴异面直线PC与AD所成的角即是直线PC与BC所成的角，

所以∠PCB即是异面直线PC与AD所成的角； 
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，即AD⊥PA，又∠BAD=90°，∴AD⊥AB；
∴AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB；
∴△PBC是直角三角形；
∴根据条件，PB=

2

，tan∠PCB=

2

；
∴异面直线PC与AD所成的角是arctan

2

．
（Ⅱ）证明：连接AC，∵PA⊥平面ABCD；
∴PA⊥DC，即DC⊥PA；
过C作CC′⊥AD，交AD于C′，则CC′=1，C′D=1，∴CD=

2

；
又AC=

2

，∴AC²+CD²=2+2=AD²
∴DC⊥AC；
∵AC∩PA=A；
∴DC⊥平面PAC；
又DC?平面PDC；
所以平面PAC⊥平面PDC．
（Ⅲ）取PC中点E′，则EE′∥DC，
由（Ⅱ）知DC⊥平面PAC
则EF⊥平面PAC
所以∠ECE′为直线EC与平面PAC所成的角
CE′=

3

2

，EF=

2

2

；
∴EC=

5

2

，∴cos∠ECE′=

15

5

；
即直线EC与平面PAC所成角的余弦值是

15

5

．

点评：考查的知识点有：异面直线所成角，面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义．这里要注意的是，若求的是角，需先找到这个角，然后根据条件求出即可；而要判断垂直问题，找判定定理所需具备的条件．