Question

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则函数y=f（x）-lg|x|的零点个数是（　　）

A．9

B．10

C．18

D．20

Answer 1

分析：分别作出函数y=f（x），y=lg|x-1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解．

解答：解：当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
函数y=f（x）的周期为2，
x∈[-1，0]时，f（x）=2^-x-1，
可作出偶函数f（x）的图象．
对于图象关于y轴对称的偶函数y=lg|x|．
函数y=g（x）的零点，
即为函数图象交点横坐标，
当x＞10时，y=lg|x|＞1，
此时函数图象无交点，
如图：又两函数在x＞0上有9个交点，由f（x）和g（x）的图象都关于y轴对称，
可知它们在x＜0上也有9个交点，且这些交点关于直线y轴对称，
可得函数g（x）=f（x）-lg|x|的零点个数为18，
故选 C．

点评：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题．