Question

（2013•湖北）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=

ax+b

x+1

．
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
（i）判断f（1），f（

b a

），f（

b

a

）是否成等比数列，并证明f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）a、b的几何平均数记为G．称

2ab

a+b

为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；
（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（

b a

），f（

b

a

），根据等比数列的定义，即可得到结论；
（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠-1}，f′(x)=

a-b

(x+1)2

∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）（i）计算得f（1）=

a+b

2

，f（

b a

）=

ab

，f（

b

a

）=

2ab

a+b

．
∵(

ab

)2=

a+b

2

×

2ab

a+b

∴f（1），f（

b a

），f（

b

a

）成等比数列，
∵a＞0，b＞0，∴

2ab

a+b

≤

ab

∴f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）由（i）知f（

b

a

）=

2ab

a+b

，f（

b a

）=

ab

，
故由H≤f（x）≤G，得f（

b

a

）≤f（x）≤f（

b a

）．
当a=b时，f（

b

a

）=f（x）=f（

b a

）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），
当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有

b

a

≤x≤

b a

，即x的取值范围为

b

a

≤x≤

b a

；
当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有

b a

≤x≤

b

a

，即x的取值范围为

b a

≤x≤

b

a

．

点评：本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．