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    （2013•湖北）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=
    ax+b
    x+1
    ．
    （Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
    （i）判断f（1），f（
    b
    a
    ），f（
    b
    a
    ）是否成等比数列，并证明f（
    b
    a
    ）≤f（
    b
    a
    ）；
    （ii）a、b的几何平均数记为G．称
    2ab
    a+b
    为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．
    分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（
    b
    a
    ），f（
    b
    a
    ），根据等比数列的定义，即可得到结论；
    （ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠-1}，f′(x)=
    a-b
    (x+1)2

    ∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增；
    当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
    （Ⅱ）（i）计算得f（1）=
    a+b
    2
    ，f（
    b
    a
    ）=
    		ab
    ，f（
    b
    a
    ）=
    2ab
    a+b
    ．
    ∵(
    		ab
    )2=
    a+b
    2
    ×
    2ab
    a+b

    ∴f（1），f（
    b
    a
    ），f（
    b
    a
    ）成等比数列，
    ∵a＞0，b＞0，∴
    2ab
    a+b
    ≤
    		ab

    ∴f（
    b
    a
    ）≤f（
    b
    a
    ）；
    （ii）由（i）知f（
    b
    a
    ）=
    2ab
    a+b
    ，f（
    b
    a
    ）=
    		ab
    ，
    故由H≤f（x）≤G，得f（
    b
    a
    ）≤f（x）≤f（
    b
    a
    ）．
    当a=b时，f（
    b
    a
    ）=f（x）=f（
    b
    a
    ）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），
    当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有
    b
    a
    ≤x≤
    b
    a
    ，即x的取值范围为
    b
    a
    ≤x≤
    b
    a
    ；
    当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有
    b
    a
    ≤x≤
    b
    a
    ，即x的取值范围为
    b
    a
    ≤x≤
    b
    a
    ．
    点评：本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    （2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
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    （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足
    DQ
    =
    1
    2
    CP
    ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

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    （2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
    		14
    ，则x+y+z=
    3
    		14
    7
    3
    		14
    7
    ．

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    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．

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    （2013•湖北）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=
    -2+3i
    -2+3i
    ．

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