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    （2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．
    分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；
    （Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令x=
    1
    n
    代入并化简得nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ，再令x=-
    1
    n
    得，nr＞
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ，即结论得到证明；
    （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令r=
    1
    3
    ，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，
    3
    4
    (125
    4
    3
    -80
    4
    3
    )＜S＜
    3
    4
    (126
    4
    3
    -81
    4
    3
    )    ，再由参考数据和条件进行求解．
    解答：解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
    令f'（x）=0，解得x=0．
    当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
    当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
    故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
    （Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
    即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
    故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
    在①中，令x=
    1
    n
    （这时x＞-1且x≠0），得(1+
    1
    n
    )r+1＞1+
    r+1
    n
    ．
    上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
    即nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ，②
    当n＞1时，在①中令x=-
    1
    n
    （这时x＞-1且x≠0），
    类似可得nr＞
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ，③
    且当n=1时，③也成立．
    综合②，③得
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ，④
    （Ⅲ）在④中，令r=
    1
    3
    ，n分别取值81，82，83，…，125，
    得
    3
    4
    (81
    4
    3
    -80
    4
    3
    )＜
    381
    ＜
    3
    4
    (82
    4
    3
    -81
    4
    3
    )    ，
    3
    4
    (82
    4
    3
    -81
    4
    3
    )＜
    382
    ＜
    3
    4
    (83
    4
    3
    -82
    4
    3
    )    ，
    3
    4
    (83
    4
    3
    -82
    4
    3
    )＜
    383
    ＜
    3
    4
    (84
    4
    3
    -83
    4
    3
    )    ，…
    3
    4
    (125
    4
    3
    -124
    4
    3
    )＜
    3125
    ＜
    3
    4
    (126
    4
    3
    -125
    4
    3
    )    ，
    将以上各式相加，并整理得
    3
    4
    (125
    4
    3
    -80
    4
    3
    )＜S＜
    3
    4
    (126
    4
    3
    -81
    4
    3
    )    ．
    代入数据计算，可得
    3
    4
    (125
    4
    3
    -80
    4
    3
    )≈210.2，
    3
    4
    (126
    4
    3
    -81
    4
    3
    )≈210.9
    由[S]的定义，得[S]=211．
    点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．
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    （2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
    （Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
    （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足
    DQ
    =
    1
    2
    CP
    ．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

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    （2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
    		14
    ，则x+y+z=
    3
    		14
    7
    3
    		14
    7
    ．

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    （2013•湖北）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=
    -2+3i
    -2+3i
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖北）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=
    ax+b
    x+1
    ．
    （Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
    （i）判断f（1），f（
    b
    a
    ），f（
    b
    a
    ）是否成等比数列，并证明f（
    b
    a
    ）≤f（
    b
    a
    ）；
    （ii）a、b的几何平均数记为G．称
    2ab
    a+b
    为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．

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