Question

（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=

14

，则x+y+z=

3 14

7

．

Answer 1

分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）²≤14（x²+y²+z²）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值

14

，由不等式的等号成立的条件解出x=

14

14

、y=

14

7

且z=

3 14

14

，由此即可得到x+y+z的值．

解答：解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）=14（x²+y²+z²）
当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

3

时，上式的等号成立
∵x²+y²+z²=1，∴（x+2y+3z）²≤14，
结合x+2y+3z=

14

，可得x+2y+3z恰好取到最大值

14

∴

x

1

=

y

2

=

z

3

=

14

14

，可得x=

14

14

，y=

14

7

，z=

3 14

14

因此，x+y+z=

14

14

+

14

7

+

3 14

14

=

3 14

7

故答案为：

3 14

7

点评：本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值

14

的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．