Question

14、给出下列命题：
（1）若实数x满足log₂₀₀₉x=2009^-x，则有x²＞x＞1成立；
（2）若a＞0，b＞0，则不等式a³+b³≥3ab²恒成立；
（3）对于函数f（x）=2x²+mx+n，若f（a）＞0，f（b）＞0，则函数在（a，b）内至多有一零点；
（4）函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
则其中所有正确命题的序号是

（1），（4）

．

Answer 1

分析：本题综合考查了函数与方程，不等式的证明，函数的零点，函数的对称性，我们根据上述知识点对题目中四个结论逐一进行判断，即可得到结论．

解答：解：分别画出函数y=log₂₀₀₉x，y=2009^-x，的图象，观察图象知，它们的交点的横坐标大于1，从而有x²＞x＞1成立，即（1）正确；
当a=b=1时，a³+b³=2＜3ab²=3，故a＞0，b＞0则不等式a³+b³≥3ab²恒成立（2）错误；
对于函数f（x）=2x²+mx+n．若f（a）＞0．f（b）＞0，则函数在（a，b）内至少有一个零点，故（3）错误；
y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于x=2对称，故（4）正确．
故答案为：（1），（4）

点评：本题考查命题的真假判断与应用，奇偶函数图象的对称性，函数的零点等知识，注意应用举反例的方法否定结论，以便于判断真假．