Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）
b=-12时，由，得x=2（x=3舍去），
当x∈[1，2）时f^′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f^′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln³
（2）由题意在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则，解之得
分析：（1）当b=-12时令由得x=2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，3]的最小值在x=2时取得．
（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（-1，+∞）有两个不等实根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围．
点评：本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即在（-1，+∞）有两个不等实根即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．