Question

已知函数
（Ⅰ）设为函数的极值点，求证: ；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求正整数的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）正整数的最大值为．

解析试题分析：（Ⅰ）设为函数的极值点，只需对求导，让它的导函数在处的值为零，这样得到的关系式，从而证明；（Ⅱ）当时，恒成立，求正整数的最大值，这是恒成立问题，解这类为题，只需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，本题分离参数得，不等式的右边就是，这样转化为求的最小值问题，由于带有对数函数，需用极值法求最值，只需对求导，得，令时，即，无法解方程，可令，判断单调性，利用根的存在性定理来确定根的范围，从而求解．
试题解析：（Ⅰ）因为，故, 为函数的极值点,, 即,于是,故 ；
（Ⅱ）恒成立,分离参数得 ，则时，恒成立，只需，，记，， 在上递增，又，在上存在唯一的实根， 且满足， 当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为．
考点：本题函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值，根的存在性定理，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.