Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

在点（-1，f（-1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析：（I）首先求出f（1）的值，进而得出b-a=-4，然后求出函数的导数，求出f'（-1）=

b

2

=-1，就可以求出a、b的值，得出函数的解析式；
（II）将不等式整理得出（x²+1）lnx≥2x-2，问题转化成x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，然后设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，并求出h'（x），得出x≥1时h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而求出h（x）的最小值，得出结果．

解答：解：（Ⅰ）将x=-1代入切线方程得y=-2
∴f(-1)=

b-a

1+1

=-2，化简得b-a=-4．                …（2分）
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1．                    …（4分）
解得：a=2，b=-2
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．                                      …（6分）
（Ⅱ）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化简得（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．             …（8分）
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．         …（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．                      …（12分）

点评：本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．