Question

14．已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4，其中a∈（0，+∞），直线l₁：x-y+3=0，被圆C截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求a的值；
（2）求过点（3，5）与圆C相切的切线方程；
（3）直线l₂过P（0，1）点交圆C于AB两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用弦长公式可得弦心距d=$\sqrt{2}$，再由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，由此求得a的值；
（2）确定出圆的圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．
（3）利用P（0，1），C（1，2）满足：$\overrightarrow{PM}$$⊥\overrightarrow{CM}$，化简即可得到结论．

解答 解：（1）由题意利用弦长公式可得弦心距d=$\sqrt{2}$，再由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得a=1，或 a=-3（舍去），
∴a=1．
（2）圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2
由（3，5）到圆心的距离为$\sqrt{13}$＞r=2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3）
由圆心到切线的距离d=$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=2，
化简得：12k=5，可解得k=$\frac{5}{12}$，
∴切线方程为5x-12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3．
（3）设M（x，y）
∵P（0，1），C（1，2）满足：$\overrightarrow{PM}$$⊥\overrightarrow{CM}$，
∴（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，
∴M的轨迹方程为：x²+y²-x-3y+2=0．（轨迹在圆C内）

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．