Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出PB与平面PDC所成角的正弦值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出PA的长．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°
∴BO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则 P（0，-$\sqrt{3}$，2），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0）
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，2$\sqrt{3}$，-2），
设平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
设PB与平面PDC所成角为θ，
则sinθ$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
∴PB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
（2）由（1）知$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），设P（0，-$\sqrt{3}$，t）（t＞0），
则$\overrightarrow{BP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，t），设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{m}=-x-\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（3，$\sqrt{3}$，$\frac{6}{t}$），
同理，平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，$\frac{6}{t}$），
∵平面PCB⊥平面PDC，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-9+3+$\frac{36}{{t}^{2}}$=0，
解得t=$\sqrt{6}$，∴PA=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线面所成角的正弦值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．