Question

19．在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB=90°，AF∥BE，BE=2AF=4．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）若二面角E-AB-D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）、连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG．只证AC∥FG，即可‘
（2）先证EC⊥平面ABCD，再以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系即可

解答 证明：（1）连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG．
∵ABCD是正方形，∴O是DB的中点，∴OG∥BE，OG=$\frac{1}{2}BE$，
又因为AF∥BE，AF=$\frac{1}{2}BE$，所以OG∥AF且OG=AF，
所以四边形AOGF是平行四边形，（3分）
∴AC∥FG，又因为FG?平面DEF，AC?平面EDF
∴AC∥平面DEF（5分）

（2）∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠FAB=90°，∴DA⊥AB，FA⊥AB
∵AD∩AF=A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC．
又∵AB?平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD，
又因为二面角E-AB-D为60⁰，
所以∠FAD=∠EBC=60°，BE=2AF=4，BC=2，由余弦定理得EC=2$\sqrt{3}$，
所以EC⊥BC，又因为AB⊥平面EBC，∴EC⊥AB，所以EC⊥平面ABCD，（7分）
法一：以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系．则C（0，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2$\sqrt{3}$），F（1，2，$\sqrt{3}$），（8分）
所以$\overrightarrow{CE}=（0，0，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{DF}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EF}（1，2，-\sqrt{3}）$，设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0$即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$令z=$\sqrt{3}$，则x=-3，y=3，
所以$\overrightarrow{n}=（-3，3，\sqrt{3}）$（11分）
设直线CE和平面DEF所成角为θ，
则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$|（12分）

点评 本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想，属于中档题．