【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
∶
和圆
∶
,
是直线
上一点,过点
作圆
的两条切线,切点分别为
.
(1)若,求点
坐标;
(2)若圆上存在点
,使得
,求点
的横坐标的取值范围;
(3)设线段的中点为
,
与
轴的交点为
,求线段
长的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)先求出到圆心的距离为
,设
,解方程
即得解;(2)设
,若圆
上存在点
,使得
,分析得到
,即
,解不等式得解;(3)设
,可得
所在直线方程:
,
点的轨迹为:
,根据
求出最大值得解.
(1)若,则四边形
为正方形,
则到圆心的距离为
,
∵在直线
上,设
故,解得
,故
;
(2)设,若圆
上存在点
,使得
,
过作圆的切线
,
,∴
,∴
,
在直角三角形中,∵
,
∴,即
,∴
,
∴,解得
,
∴点横坐标的取值范围为:
;
(3)设,则以
为直径的圆的方程为
化简得,与
联立,
可得所在直线方程:
,
联立,得
,
∴的坐标为
,
可得点的轨迹为:
,
圆心,半径
.其中原点
为极限点(也可以去掉).
由题意可知,∴
.
∴.
∴线段的最大值为
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,平面
平面
,
,点
在棱
上.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)若平面
,求证:
;
(Ⅲ)是否存在点,使得四面体
的体积等于四面体
的
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=9和圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求直线过点C(3,-5),且与公共弦垂直的直线方程.
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【题目】已知函数f(x)=x2ex﹣b,其中b∈R.
(Ⅰ)证明:对于任意x1,x2∈(﹣∞,0],都有f(x1)﹣f(x2);
(Ⅱ)讨论函数f(x)的零点个数(结论不需要证明).
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【题目】已知数集具有性质
:对任意的
,
,使得
成立.
(Ⅰ)分别判断数集与
是否具有性质
,并说明理由;
(Ⅱ)求证;
(Ⅲ)若,求数集
中所有元素的和的最小值.
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【题目】由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了两个地区的
名观众,得到如下的
列联表:
已知在被调查的名观众中随机抽取
名,该观众是
地区当中“非常满意”的观众的概率为
,且
.
(1)现从名观众中用分层抽样的方法抽取
名进行问卷调查,则应抽取“满意”的
地区的人数各是多少.
(2)完成上述表格,并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
(3)若以抽样调查的频率为概率,从地区随机抽取
人,设抽到的观众“非常满意”的人数为
,求
的分布列和期望.
附:参考公式:
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