Question

【题目】， ， ．

（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；

（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=ex+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；

（2）根据a（x﹣）＜1，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．

试题解析：

（1）设切点为，

则， ，①

和相切，则， ，②

所以，

即，令， ，所以单增，

又因为， ，所以，存在唯一实数，使得，且，

所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．

（2）令，则，所以，

令，则，由（Ⅰ）可知， 在上单减，在单增，且，故当时， ，当时， ．

当时，因为要求整数解，所以在时， ，所以有无穷多整数解，舍去；

当时， ，又， ，所以两个整数解为0,1，即所以，即；

当时， ，因为， 在内大于或等于1，所以无整数解，舍去．

综上， ．