Question

（2013•绍兴一模）如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（　　）

• A．

  6 +3 2

  12

• B．

  2 2 +1

  5

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  5+2 2

  12

Answer 1

分析：由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=

6 +3 2

12

，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．

解答：解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，
∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β
∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α
过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，
设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=

3

3

BC=

3

3

∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，
∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°
因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=

3

3

×

6 + 2

4

=

6 +3 2

12

过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角
∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α
由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=

6 +3 2

12

∴Rt△CDE中，sin∠DCE=

DE

CD

=

6 +3 2

12

，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于

6 +3 2

12

故选：A

点评：本题给出正四面体的一条棱与平面α成45°，在顶点A与B在平面α内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面α所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．