Question

如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）先证明CB⊥平面AEB，因为CB∥DA，从而AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，可证得AE⊥BF，最后由线面垂直的判定定理证明AE⊥平面BCE，从而AE⊥BE．
（2）先将求三棱锥D-AEC的体积问题转化为求三棱锥E-ADC的体积问题，再证明EM即为三棱锥E-ADC的高，最后计算三角形ADC的面积，利用椎体的体积公式计算即可
（3）取BE中点G，连接MG，则MG∥平面ADE，若MN∥平面DAE，则平面GMN∥平面ADE，从而NG∥AD∥BC，从而发现点N即为CE的中点，而F即为CE的中点，故当点N与点F重合时，MN∥平面ADE．

解答：证明：（1）由AD⊥平面ABE及AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC
而BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
解：（2）连接EM，∵M为AB中点，AE=EB=BC=2，∴EM⊥AB
又DA⊥平面ABE，EM?ABE平面，∴DA⊥EM，所以EM⊥平面ACD
由已知及（1）得EM=

1

2

AB=

2

，S△ADC=2

2

．
故VD-AEC=VE-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

（3）取BE中点G，连接MG，GF，FM．
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，
又EB=BC，所以F为CE中点，∴GF∥BC
又∵BC∥AD，∴GF∥AD
所以GF∥平面ADE   
同理MG∥平面ADE，所以平面GMF∥平面ADE
又MF?平面MGF，则MF∥平面ADE．  
∴当点N与点F重合，即N为线段CE的中点时，MN∥平面ADE．

点评：本题考察了线面平行，面面平行的性质和判定定理的应用，线面垂直，线线垂直的性质和判定定理的应用，三棱锥体积的计算方法等知识